FATOS MATEMÁTICOS: Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 4)

quinta-feira, 2 de dezembro de 2010

Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 4)

Problema $[;10;]$ : Seja $[;O;]$ o ponto médio da hipotenusa do triângulo retângulo $[;ABC;]$ . Seja $[;D;]$ a interseção da mediatriz de $[;AC;]$ com o cateto $[;BC;]$ . Sejam $[;S_1;]$ e $[;S_3;]$ as áreas dos semicírculos de diâmetros $[;AB;]$ e $[;OD;]$ , e $[;S_2;]$ a área entre os semicírculos de diâmetros $[;BC;]$ e $[;DC;]$ conforme a figura abaixo. Se $[;S;]$ representa a área entre os semicírculos de diâmetros $[;AO;]$ e $[;AC;]$ , prove que $[;S = S_1 + S_2 + S_3;]$ .

Problema $[;11;]$ : Dado o $[;\triangle ABC;]$ , prove que

$[;\sin \frac{\hat{A}}{2} = \sqrt{\frac{(p-b)(p - c)}{bc}};]$

onde $[;p;]$ é o semi-perímetro do triângulo.

Observação: Claramente, esta fórmula estende-se para os outros ângulos $[;\hat{B}/2;]$ e $[;\hat{C}/2;]$ .

Problema $[;12;]$ : Prove que dentre quaisquer cinco números reais $[;y_1;]$ , $[;y_2;]$ , $[;y_3;]$ , $[;y_4;]$ e $[;y_5;]$ , existem $[;2;]$ que satisfazem:

$[;0 \leq \frac{y_i - y_j}{1 + y_iy_j} \leq 1;]$

Vejamos as soluções dos problemas da edição anterior.

Problema $[;7;]$ : Mostre que

$[;\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}dx = \frac{\pi}{4};]$

Resolução: Façamos $[;y = \pi/2 - x;]$ . Assim, $[;dx = -dy;]$ de modo que

$[;I := \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}dx = \int_{\pi/2}^{0}\frac{\sqrt{\sin(\pi/2 - y)}(-dy)}{\sqrt{\sin(\pi/2 - y)} + \sqrt{\cos(\pi/2 - y)}};]$

$[;= \int_{0}^{\pi/2}\frac{\sqrt{\cos y}dy}{\sqrt{\cos y}+ \sqrt{\sin y}};]$

Assim,

$[;\frac{\pi}{2} = \int_{0}^{\pi/2}dx = \int_{0}^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}dx;]$

$[;=\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin x}dx}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} + \int_{0}^{\pi/2}\frac{\sqrt{\cos x}dx}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} = I + I = 2I;]$

Logo, $[;I = \pi/4;]$ .

Problema $[;8;]$ : Sejam $[;x\ ;]$ e $[;y;]$ números reais tais que $[;x^3 + 3x^2 + 4x + 5 = 0;]$ e $[;y^3 - 3y^2 + 4y - 5 = 0;]$ . Determine $[;(x + y)^{2010};]$ .

Resolução: As equações dadas podem ser reescritas como

$[;(x+1)^3 + (x+1) + 3 = 0 \qquad (1);]$

$[;(y - 1)^3 + (y-1) - 3 = 0 \qquad (2);]$

Observe que se $[;x = u;]$ é uma raiz real de $[;(1);]$ , então $[;-u;]$ é raiz real de $[;(2);]$ , pois

$[;(-u-1)^3 + (-u-1) - 3 = -[(u+1)^3 + (u+1) + 3] = -0 = 0;]$

Portanto, $[;x + y = 0 \quad \Rightarrow \quad (x + y)^{2010} = 0^{2010} = 0;]$ .

Solução adaptada de vários leitores.

Problema $[;9;]$ : Na exploração de uma mina foi feito o corte inclinado conforme a figura abaixo. Para calcular o volume do minério extraído do corte foram medidos: $[;CD = 10\sqrt{3}\ m;]$ , e que é perpendicular ao plano $[;ABC;]$ e os ângulos $[;A\widehat{D}C = 60^{\circ};]$ , $[;B\widehat{D}C = 30^{\circ};]$ e $[;A\widehat{D}B = 60^{\circ};]$ . Calcule esse volume.

Resolução: Sendo $[;DC \perp BC;]$ , então $[;\triangle BCD;]$ é retângulo em $[;\hat{C};]$ . Assim,

$[;\sin 30^{\circ} = \frac{10\sqrt{3}}{BD} \quad \Rightarrow \quad BD = 20\sqrt{3}\ m;]$

$[;\tan 30^{\circ} = \frac{BC}{10\sqrt{3}} \quad \Rightarrow \quad BC = 10\ m;]$

Sendo $[;DC \perp AC;]$ , então $[;\triangle ACD;]$ é retângulo em $[;\hat{C};]$ de modo que

$[;\sin 60^{\circ} = \frac{10\sqrt{3}}{AD} \quad \Rightarrow \quad AD = 20\ m;]$

$[;\tan 60^{\circ} = \frac{AC}{10\sqrt{3}} \quad \Rightarrow \quad AC = 30\ m;]$

Por outro lado, usando a lei dos cossenos no $[;\triangle ADB;]$ , temos:

$[;AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2AD\cdot BD\cos 60^{\circ};]$

$[;= 20^2 + (20\sqrt{3})^2 - 2\cdot 20\cdot 20\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2};]$

donde segue que $[;AB = 20\sqrt{4 - \sqrt{3}}\ m;]$ . O próximo passo é calcular a área do $[;\triangle ABC;]$ através da fórmula de Heron. Sendo $[;AC = 30\ m;]$ e $[;BC = 10\ m;]$ , segue que

$[;2p = AB + AC + BC = 40 + 20\sqrt{4- \sqrt{3}} \quad \Rightarrow \quad p = 20 + 10\sqrt{4 - \sqrt{3}} \quad \Rightarrow;]$

$[;p - BC = 10 + 10\sqrt{4 - \sqrt{3};]$

$[;p - AB = 20 - 10\sqrt{4 - sqrt{3}};]$

$[;p - AC = -10 + 10\sqrt{4 - \sqrt{3}};]$

Assim, $[;S = \sqrt{p(p - BC)(p - AB)(p - AC)} = 300\sqrt{\sqrt{3} - 1}\ m^2;]$ . Logo,

$[;V = \frac{S\cdot CD}{3} = \frac{300\sqrt{\sqrt{3}-1}\cdot 10\sqrt{3}}{3} = 1000\sqrt{3\sqrt{3} - 3}\ m^3;]$

Abaixo a lista dos leitores que participaram desta edição. Meus sinceros agradecimentos.

- Alexandre Lima - Prob. $[;8;]$

- Américo Tavares - Prob. $[;8;]$

- Carlos - Prob. $[;8;]$

- Gustavo - Prob. $[;8;]$

- Kazuki e Giuliano - Prob. $[;8;]$

Lembro que o prazo de entrega para os problemas $[;10);]$ , $[;11);]$ e $[;12);]$ encerra no dia 31/12/2010 e podem ser enviados para linnux2001@gmail.com.

Gostará de ler também:
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 3);
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 2);
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 1);
- A Fórmula de Heron.

2 comentários:

Kleber Kilhian2 de dezembro de 2010 12:27
Paulo, no primeiro problema tem que fazer uma correção:
[;S_2;] a área entre os semicírculos de diâmetros [;BC;] e [;DC;] conforme a figura abaixo.

Abraços!
ResponderExcluir
Prof. Paulo Sérgio2 de dezembro de 2010 13:35
Obrigado Kleber, problema corrigido. Abraços!!
ResponderExcluir

Adicionar comentário

Carregar mais...

Páginas

Membros

quinta-feira, 2 de dezembro de 2010

Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 4)

2 comentários: