FATOS MATEMÁTICOS: 2010/03

segunda-feira, 29 de março de 2010

Algumas Propriedades da Equação N-Dimensional do Calor

Como este blog destina-se a divulgar assuntos em diversos níveis, irei apresentar alguns posts relacionados a teoria das Equações Diferenciais Parciais. Veremos neste post algumas propriedades da equação N-dimensional do calor em domínios limitados.

Seja $[;\Omega \subset \mathbb{R}^N;]$ um domínio limitado, $[;u = u(x,t);]$ , onde $[;x = (x_1,\ldots,x_n) \in \Omega;]$ e $[;t \succ 0;]$ . A equação N-dimensional do calor é dada por

$[;\begin{cases}u_t - \triangle u = 0,\quad \quad \Omega \times (0, +\infty)\\u = 0, \quad \quad \partial \Omega \times (0,+\infty)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (1)\\u(x,0) = u_0(x), \quad \quad x \in \Omega\\\end{cases};]$

Considere o problema de autovalores:

$[;\begin{cases} -\triangle \phi_j = \lambda_j\phi_j,\quad \quad x \in \Omega\\\phi_j = 0 \quad \quad \text{sobre}\quad \partial \Omega\\\end{cases};]$

A teoria esprectal dos operadores compactos auto-adjuntos no espaço de Hilbert, garante que o problema de autovalores admite uma sequência crescente de autovalores positivos de multiplicidade finita tendendo para o infinito, isto é,

$[;0 \prec \lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \lambda_3 \ldots \leq \lambda_n \leq \ldots \to +\infty;]$

Deste modo, as autofunções correspondentes $[;\{\phi_j\};]$ constitui uma base ortonormal para $[;L^2(\Omega);]$ . Sendo $[;\Omega;]$ um domínio limitado, as soluções do problema $[;(1);]$ podem ser desenvolvidas na base de autofunções acima, ou seja:

$[;u(x,t) = \sum_{k=1}^{\infty}c_ke^{-\lambda_k t}\phi_k(x) \quad \quad (2);]$

Note que

$[;u_0(x) = u(x,0) = \sum_{k=1}^{\infty}c_k\phi_k(x);]$

Afirmação: Os coeficientes $[;c_k;]$ são dados por

$[;c_k = \int_{\Omega}u_0(x)\phi_k(x)dx;]$

De fato,

$[;\prec u_0(x),\phi_j(x)\succ \ = \ \prec \sum_{k=1}^{\infty}c_k\phi_k(x),\phi_j(x) \succ \ = \ \sum_{k=1}^{\infty}c_k\prec \phi_k(x),\phi_j(x)\succ;]$

Usando a ortogonalidade das autofunções $[;\phi_k;]$ , segue que

$[;\int_{\Omega}u_0(x)\phi_j(x)dx = \ \prec u_0(x),\phi_j(x)\succ \ = \ c_j\prec \phi_j(x),\phi_j(x) \succ \ = c_j;]$

Propriedade 1:

$[;\mid\mid u(\cdot, t)\mid \mid_{L^2(\Omega)}^{2} = \sum_{k = 1}^{\infty} c_{k}^{2}e^{-2\lambda_k t};]$

Demonstração: Usando a definição de norma no espaço $[;L^2(\Omega);]$ , temos:

$[;\int_{\Omega}u(x,t)^2 dx = \int_{\Omega}\biggl (\sum_{j=1}^{\infty}c_je^{-\lambda_j t}\phi_j(x) \biggr)\biggl(\sum_{k=1}^{\infty}c_ke^{-\lambda_k t}\phi_k(x) \biggr)dx;]$

ou seja,

$[;\mid\mid u(\cdot, t)\mid \mid_{L^2(\Omega)}^{2} = \sum_{j=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty} c_jc_k e^{-\lambda_j t - \lambda_k t}\int_{\Omega}\phi_j(x)\phi_k(x)dx;]$

Usando a ortogonalidade das autofunções, segue que

$[;\mid\mid u(\cdot, t)\mid \mid_{L^2(\Omega)}^{2} = \sum_{k=1}^{\infty} c_{k}^{2} e^{-2\lambda_k t};]$

temos o resultado desejado. Uma consequência imediata desta propriedade é que

$[;\mid\mid u_0(x)\mid \mid_{L^2(\Omega)}^{2} = \sum_{k=1}^{\infty} c_{k}^{2};]$

Propriedade 2: (Dissipação de Energia) Para todo $[;t \geq 0;]$ ,

$[;E(t) \leq E(0)e^{-2\lambda_1 t};]$

onde $[;\lambda_1 \suc 0;]$ é o primeiro autovalor e

$[;E(t) = \int_{\Omega}u(x,t)^2dx;]$

Demonstração: Multiplicando a equação do calor por $[;u;]$ , temos:

$[;(u_t - \triangle u)u = 0 \quad \quad \Rightarrow \quad \quad uu_t - u\Delta u = 0;]$

ou seja:

$[;\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}(u^2) - u\Delta u = 0 \quad \quad (3);]$

Integrando a expressão $[;(3);]$ em relação a $[;x\ ;]$ sobre $[;\Omega;]$ , temos:

$[;\frac{1}{2}\int_{\Omega}\frac{\partial}{\partial t}(u^2)dx = \int_{\Omega}u\Delta udx \quad \quad (4);]$

Usando o teorema de Leibniz sobre a derivação sob o sinal de integração no lado esquerdo e a identidade de Green no lado direito de $[;(4);]$ , segue que

$[;\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\biggl(\int_{\Omega}u(x,t)^2 dx\biggr) = \int_{\partial \Omega}u\frac{\partial u}{\partial n}dS - \int_{\Omega}\mid \nabla u \mid^2dx;]$

Por $[;(1);]$ , $[;u = 0;]$ sobre $[;\partial \Omega;]$ , de modo que a primeira integral no segundo membro é nula. Assim,

$[;\frac{1}{2}\frac{d}{dt}E(t) = - \int_{\Omega}\mid \nabla \mid^2 dx \leq -\lambda_1 E(t);]$

pela desigualdade Poincaré. Assim,

$[;E(t) \leq E(0)e^{-2\lambda_1t};]$

Corolário: (Monotonicidade):

$[;\mid \mid u(\cdot, t)\mid \mid_{L^2(\Omega)} \leq \mid \mid u_0(x)\mid \mid_{L^2(\Omega)};]$

Demonstração: Basta fazer $[;t = 0;]$ na propriedade anterior.

Neste post apareceu desigualdades, teoremas e propriedades que foram apenas enunciadas, mas prometo apresentá-las integralmente em futuros posts.

sábado, 27 de março de 2010

O Comprimento das Bissetrizes Internas de um Triângulo

Neste post apresentarei uma fórmula para calcular o comprimento das bissetrizes internas de um triângulo através da lei das áreas, a lei do cosseno e da famosa fómula de Heron.

Considerando o triângulo $[;ABC;]$ ao lado, se $[;\beta_A;]$ representa o comprimento da bissetriz $[;AD;]$ , provaremos que

$[;\beta_A = \frac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p - a)} \quad \quad (1);]$

onde $[;p;]$ é o semi-perímetro do $[;\triangle ABC;]$ .

O primeiro passo para deduzir $[;(1);]$ é aplicar a lei dos cossenos no $[;\triangle ABC;]$ , isto é,

$[;a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(2\alpha) \quad \Rightarrow \quad a^2 - b^2 - c^2 = 2bc(1 - 2\sin^2\alpha);]$

Isolando $[;\sin^2 \alpha;]$ desta expressão, temos:

$[;\sin^2\alpha = \frac{a^2 - (b - c)^2}{4bc} = \frac{[a - (b - c)]\cdot [a+(b-c)]}{4bc};]$

Usando o fato que $[;2p = a + b + c;]$ , segue que

$[;\sin \alpha = \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}} \quad \quad (2);]$

Por outro lado, pela lei das áreas, a área de um triângulo é igual a semi-produto de dois lados pelo seno do ângulo formado por eles. Assim,

$[;S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2}\beta_Ac\sin \alpha + \frac{1}{2}\beta_Ab\sin \alpha;]$

ou seja,

$[;S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}\beta_A(b + c)\sin \alpha \quad \quad (3);]$

Pela fórmula de Heron, sabemos que

$[;S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\quad \quad (4);]$

Substituindo as expressões $[;(2);]$ e $[;(4);]$ em $[;(3);]$ , temos

$[;\frac{1}{2}\beta_A(b+c)\sqrt{\frac{(p - b)(p - c)}{bc}} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)};]$

Simplificando os termos semelhantes e isolando $[;\beta_A;]$ segue a fórmula $[;(1);]$ .

As fórmulas para calcular o comprimento das bissetrizes dos outros vértices segue da simetria de $[;(1);]$ e são dadas por

$[;\beta_B = \frac{2}{a+c}\sqrt{acp(p-a)};]$

$[;\beta_C = \frac{2}{a+b}\sqrt{abp(p-c)};]$

Gostará de ler também:
- A Mediana de um Triângulo;
- A Fórmula de Heron;
- Provas Sem Palavras (Parte 12) (A Lei dos Cossenos);
- Pontos Notáveis de um Triângulo (Blog O Baricentro da Mente).

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segunda-feira, 29 de março de 2010

Algumas Propriedades da Equação N-Dimensional do Calor

sábado, 27 de março de 2010

O Comprimento das Bissetrizes Internas de um Triângulo