FATOS MATEMÁTICOS: 2012/08

quarta-feira, 29 de agosto de 2012

O Problema do Pulo do Grilo

Muitos problemas físicos podem ser modelados usando ferramentas adequadas da Matemática. Sendo assim, a Cinemática é uma área da Física que pode muito bem ser explorada através da Geometria Analítica, do Cálculo e das Equações Diferenciais. O problema seguinte é um exemplo deste fato.

Considere um tronco cilíndrico de seção circular de raio $[;R;]$ e cujo centro é $[;(0,R);]$ . Um grilo diante deste tronco deseja pulá-lo com menor velocidade inicial $[;v_0;]$ possível. Desprezando o atrito do ar calcule esta velocidade.

Resolução: Conforme a figura abaixo, o problema consiste em achar o menor módulo do vetor velocidade $[;\vec{V_1};]$ de forma que o grilo salte o tronco com seção transversal de raio $[;R;]$ .

Nos pontos $[;B;]$ e $[;B^{\prime};]$ , a velocidade do grilo é

$[;\vec{V_2} = \vec{V_3} = v_2;]$

e o ângulo que o vetor $[;\vec{V_2};]$ faz com a horizontal é $[;\beta;]$ . Por outro lado, o módulo da componente vertical de $[;\vec{V_2};]$ é $[;v_0 = v_y = v_2\sin \beta;]$ . Assim, com o eixo vertical orientado para cima, a função horária do movimento vertical com esta componente é $[;v = v_2\sin \beta - gt;]$ . No ponto $[;C;]$ , temos $[;t = t_2;]$ e $[;v = 0;]$ , de modo que

$[;v_2\sin \beta = gt_2 \qquad (1);]$

onde $[;t_2;]$ é o tempo de vôo do grilo de $[;B;]$ até $[;C;]$ . Ainda no ponto $[;B;]$ , o módulo da componente horizontal do vetor $[;\vec{V_2};]$ é $[;v_x = v_2\cos \beta;]$ . Logo, o deslocamento horizontal do grilo de $[;F;]$ à $[;O;]$ é dado por

$[;v_2\cos (\beta)t_2 \quad \Rightarrow \quad v_2t_2\cos \beta = FO = R\cos(90^{\circ} - \beta) = R\sin \beta \quad \Rightarrow;]$

$[;v_2t_2\cos \beta = R\sin \beta \qquad (2);]$

De $[;(1);]$ e $[;(2);]$ , obtemos o sistema de equações:

$[;\begin{cases}v_2\sin \beta = gt_2\\v_2t_2\cos \beta = R\sin \beta\end{cases};]$

É este sistema que relaciona a parábola aos pontos $[;B;]$ e $[;B^{\prime};]$ de tangência ao círculo e impõe a condição de que a velocidade se anula em $[;C;]$ . Multiplicando membro à membro e cancelando o fator $[;t_2\sin \beta;]$ , temos:

$[;t_2\sin \beta v_{2}^{2}\cos \beta = t_2\sin(\beta)\cdot gR \quad \Rightarrow \quad v_{2}^{2} = \frac{gR}{\cos \beta};]$

O princípio da conservação de energia mecânica afirma que $[;E_A = E_B;]$ . Assim,

$[;\frac{mv_{1}^{2}}{2} = \frac{mv_{2}^{2}}{2} + mg(R + FB) \quad \Rightarrow \quad v_{1}^{2} = v_{2}^{2} + 2g(R + FB) \qquad (3);]$

Mas,

$[;v_{2}^{2} = \frac{gR}{\cos \beta} \qquad (4);]$

$[;FB = R\sin(90^{\circ} - \beta) = R\cos \beta \qquad (5);]$

Substituindo $[;(4);]$ e $[;(5);]$ em $[;(3);]$ , obtemos

$[;v_{1}^{2} = 2gR\bigl[1 + \cos \beta + \frac{1}{2\cos \beta}\bigr];]$

Como estamos querendo minimizar $[;v_1;]$ e sendo $[;R;]$ fixo, então, devemos minimizar a expressão

$[;\frac{1}{\cos \beta} + 2\cos \beta;]$

e como o grilo está saltando para a direita, só nos interessa os valores de $[;\beta;]$ no intervalo $[;0 \prec \beta \prec 90^{\circ};]$ . Usando o fato de que a média aritmética (MA) de dois números deve ser maior ou igual a média geométrica (MG) deles, temos

$[;\frac{1}{2}\biggl[\frac{1}{\cos \beta} + 2\cos \beta \biggr] \geq 2\sqrt{\frac{2\cos \beta}{\cos \beta}} = 2\sqrt{2};]$

Portanto, $[;v_{1}^{2};]$ será mínimo para $[;\beta;]$ se

$[;\frac{1}{\cos \beta} + 2\cos \beta = 2\sqrt{2} \quad \Rightarrow;]$

$[;2\cos^2 \beta - 2\sqrt{2}\cos \beta + 1 = 0 \quad \Rightarrow;]$

$[;[\sqrt{2}\cos \beta - 1]^2 \quad \Rightarrow \quad \cos \beta = \frac{\sqrt{2}}{2};]$

Logo,

$[;v_{1min} = \sqrt{2(1 + \sqrt{2})}\cdot \sqrt{gR} \simeq 2,19\sqrt{gR};]$

O que esta resposta não explicita é que na posição para o salto com $[;v_1;]$ mínimo, existe uma distância ideal do grilo ao pé do círculo dado pela projeção horizontal de $[;AF;]$ adicionado ao segmento $[;FO;]$ . Essa distância pode ser obtida em função de $[;R;]$ e $[;\beta = 45^{\circ};]$ . Além disso, este ângulo é formado nos pontos de tangência. Também é interessante observar que a expressão da velocidade mínima é independente do ângulo $[;\alpha;]$ .

Nota: Tomei conhecimento deste intrigante problema através da Revista Física na Escola, vol. 4, n. 1 de 2003. Desconfiado de que a solução apresentada nesta revista estava errada, resolvi procurar uma outra solução satisfatória, mas também não obtive sucesso. A pouco tempo, propus este problema para o colega Aloisio Teixeira do blog Elementos de Teixeira. Em pouco tempo, ele apresentou esta excelente solução o qual resolvi compartilhar com todos vocês. O blog Fatos Matemáticos em nome de seu autor agradece enormemente por mais esta contribuição.

Gostará de ler também:

- O Problema do Trem;

- Lançando Bombas.

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O Problema do Pulo do Grilo